A. Pendahuluan
Mekanika quantum merupakan alternatif yang tepat khususnya dalam mendeskrisikan sistem dimensi skala atomik. Mekanika quantum diaplikasikan dalam mendeskrisikan sifat-sifat elektron dalam kristal. Pada akhirnya akan membawa pada konsep yang sangat penting dalam fisika zat padat yaitu “sturuktur pita energi” atau struktur-struktur pita energi.

B. Elektron pada Kristal
Model sebuah elektron zat padat lebih rumit dari pada spectrum energi dalam atom dan beberapa hal umum dalam sumur potensial satu dimensi. Hal tersebut dikarenakan model sebuat electron zat padat merupakan kombinasi potensial elektrostatik dari pola-pola geometri ion-ion dan semua elektron yang lain. Meskipun demikian total potensial yang bekerja pada electron pada zat padat membagi kepada pola-pola geometri secara simetri. Perhitungan matematikan yang disederhanakan akan membawa pada penjelasan tetang spectrum energi, fungsi gelombang, dan karakteristik dinamik lain dari elektron zat padat yang dimodifikasi dari kasus partikel-partikel bebas.
1. Teorema Block
Teorema Block membuktikan bahwa kekuatan penyederhanaan matematika fungsi gelombang partikel dapat mengembangkan potensial priodik. Solusi pada persamaan Schrödinger tidak selalu membawa pada gelombang pada bidang seperti pada kasus partikel bebas, akan tetapi gelombang yang diatur dalam fungsi yang mempunyai potensial priodik atau pola-pola geometri. Bagian fungsi tersebut dinamakan fungsi gelombang Block dan ditunjukkan sperti berikut.

Pers. 4.1

Dimana  merupakan vector k satuan gelomabang (dalam tiga dimensi) atau vector gelombang partikel r,  merupakan vector posisi, u(k,r) merupakan fungsi amplitodo jarak-ketergantungan yang merefleksikan periode dari pola-pola geometri, sesuai dengan hukum Brak

Pers. 4.2

Berdasarkan Pers. (4.1) menunjukkan bahwa fungsi gelombang Block berupa gelombang dalam bidang yang diatur oleh fungsi potensial priodik pola-pola geometri Kristal. Sebuah ilustrasi fungsi gelombang Block ditunjukan pada Gambar 1  dalam kasus satu dimensi.

4-1

Gambar 4.1 (a) grafik elektron bebas (atas), (b) grafik geometri (tengah), dan (c) grafik Blog (bawah)

2. Satu Dimensi Model Kronig-Penney

Jika teorime Block menyederhanakan fungsi gelombang partikel, selanjutnya penyederhanaan potensial priodik yang sering digunakan dan dirujuk yaitu model Kronig-Penney. Pada model Kronig-Penney krital diasumsikan infinit (tidak terdefinisi). Pada model ini potensial kristal nyata dinyatakan pada Gambar 2 (a) dan 2(b).

Solusi dari model Kronig-Penney secara parsial menggunakan hasil dari sumur potensial tertentu (finit) yang telah didiskusikan pada sub-section 3.4.4 dan notasi yang sama yang digunakan pafa Gambar 2 (b). Analisis matematikan akan dilakukan secara local pada batas

 -a <x<b dimana potensial dapat menggunakan persamaan Pers. (3.50 ) kecuali ada batas baru untuk vareabel x

4-2

Gambar 2. a. Potensial krital nyata yang dialami oleh electron dalam Kristal dan

(b) penyederhanaan potensial Kristal yang digunakan dalam model Kronig-Penney

Solusi fungsi gelombang dari persamaan Schrödinger mempunyai dua komponen fungsi ψ1(x) dan ψ2(x) dalam jarak daerah yang berbeda

4-3

Dengan

12

Dengan pemahanam bahwa sin(ax) dan cos(ax) menjadi –isinh(ax) dan cosh(ax) ketika besaran a=ia adalah imajiner. Batas kondisi dan termasuk pada kondisi  ψ(x) adalah adalah turunan pertama dψ(x)/dx =0, pada titik x =0, priodik dari persamaan fungsi gelombang yang diekspresikan melalui persamaan Block dalam Pers. (4.1) antara titik x = a dan x = -b:

13

setelah disederhanakan diperoleh

14

penyelesaian dari persamaan di atas diperoleh

15

jika dijadikan grafik diperoleh:

16

Gambar 4.3 Plot dari Pers. (4.17) sisi kanan menunjukkan hubungan E-k. Pada gambar tersebut ada solusi persamaan kanan pada batas antara 1 dan -1yang mana sesuai dengan dareah yang digelapkan (pita energi).

 

Karena cosinus dari fungsi sebelah sisi kiri (LHF) pada Pers. (4.17), hanya nilai dari f(ζ) antara -1 dan + 1 yang mengizinkan nilai real k. dearah tersebut yang digelapkan. Karena k ditentukan melalui fungsi cosinus, dua nilai k yang berlawanan memungkinkan sama untuk f(ζ). Dalam daerah yang digelapkan tersebut, disana ada batas nilai untuk ζ, bagaimanapun ada daeah yang tidak digelapkan pada Gambar 4.3 dan daerah tersebut disebut adalah daerah terlarang, berarti disana tidak mungkin ada nilai energi yang bersesuaian. Sebagaian daerah tersebut disebut daerah terlarang atau energi gap. Sebuah ilustrasi divisualisasikan pada Gambar 4.4.

17

Gambar 4.4. Ilustrasi konsep pita energy pada Kristal

 3. Energi Fermi

Elektron-electron akan disebarkan (didistribusikan) diantara berbagai tingkat energi yang dimungkinkan dan dengan cara mematuhi prinsip Pauli (setiap tingkat energy hanya dapat ditempati oleh paling banyak sebuah electron (kecuali jika orientasi spin electron berbeda). Untuk setiap nilai n, ms dapat memiliki dua nilai, ½ (spin up) dan – ½ (spin down), Jadi setiap tingkat energi digandakan dua kali. Untuk menempatkan N electron, maka membutuhkan N/2 tingkat energi. Jika tingkat teratas yang terisi penuh itu nf maka nf = N/2. Energi Fermi (Ef) didefinisikan sebagai energi dari tingkat teratas yang terisi penuh elektron pada keadaan dasar.

18

Gambar 4.4 (a) pita energi semikonduktor terlihat lebih lebar energi gap-nya, (b) pita energi energi gapnya sempit, hal itu ditentukan dari struktur kritstal, elektron dapat berpindah dari pita velensi ke pita konduksi

 19

Gambar 4.5. Gambaran semikonduktor intrinsik